4分之(zhi)π是多少度（三角函数值对照表）

#头条创(chuang)作挑战赛#

高中数学基础知识非常重要，但是(shi)有一些题目却不(bu)一定要用到这些基础知识，而是可以选择更简便的方法，特别常(chang)见于选择题。比如下面这道(dao)2022年新高考数学全国卷II，关于三角函数公式的选择题。当然(ran)可以利用几个常用的三角函数公(gong)式来解决，但也可以绕开这些公式，解(jie)决起来会更简便。

若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π/4)sinβ, 则

A. tan(α+β)=-1；B. tan(α+β)=1;C. tan(α-β)=-1；D. tan(α-β)=1.

分析：这道题当然是有(you)速解的方法的，但是老黄担心你听(ting)完速解的方法，就不管(guan)一般的方法了，所以决定先讲(jiang)一般的解法，基础扎实才是王(wang)道啊。

一个角的正弦与余弦的和，可以化为这(zhe)个角与四分之π的和的正弦函数的(de)√2倍，这个公式一定要记牢(lao)哦。

如果是(shi)sina+cosa=√2sin(a+π/4)的形式，可能更多人容(rong)易接受，但这里的角却是“α+β”，有些小伙伴可能就会适应不了了。

然后把等式右边的正弦看com作两角和的(de)正弦，一个角是α+π/4，另一个(ge)角是β。运用“和的正弦公式”展开，就可以得(de)到√2sin(α+π/4)cosβ+√2cos(α+π/4)sinβ=2√2cos(α+π/4)sinβ.

现在等式两边有同类项，进(jin)行移项合并，并且可以选择约掉系(xi)数√2，得到：sin(α+π/4)cosβ-cos(α+π/4)sinβ=0.

不过留着√2也不是没用的。现在运用两角差(cha)的正弦公式的逆公式，可以得到sin(α-β+π/4)=0.

观察这个式子，有(you)没有发现，它是第一步的一个逆过程(cheng)，即可以转化为同一个角的正弦和余(yu)弦的和的形式，只不过这次(ci)这个角变成了“α-β”，而不是“α+β”了。

即sin(α-β)+cos(α-β)=0,从(cong)而可知，α-β的正弦和余弦互为(wei)相反数。因此有tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)=-1, 选C.

整个(ge)解题过程其实是(shi)对称的，感觉还是相当解压的。不过这种解法很(hen)容易引来网友的吐(tu)槽，因为聪明的人太多，他(ta)们一眼就能看出，老黄的这个解(jie)法太过拖沓。只要(yao)运用“特值法”，这道题就可以轻松地解决。聪(cong)明人是不会为老黄这样的(de)笨人考虑一下的。下面老黄就给有需(xu)要的小伙伴们介绍速(su)解的方法。

只要取β=0，那么就有sinα+cosα=0, 再取α=-π/4, 从而tan(α+β)=-1，tan(α-β)=-1;，这样就可以排除B、D选项。但却不能肯定C是正确的。因为想要否定一(yi)件事情，只需一个特(te)例就足够了。但想要(yao)证明一件事情，一个(ge)特例却并不足够。

其(qi)中β是任取的，只要取一(yi)个适合运算的值就可以了，而α并不是任取的，因为(wei)一个周期内，有(you)两个α满足正弦和余弦相反(fan)的条件。从而在每个周期中(zhong)都有符合条件的α，这样的α有无穷个，我们只要(yao)取一个符合条件，且方便我们(men)运算的就可以了。

再取α=０，同样是任取的。那(na)么就有sinβ+cosβ=2sinβ, 可(ke)化得sinβ=cosβ，从(cong)而可以在无数个满足条件的β中取β=π/4, 则tan(α+β)=1，排除A. 选C. 虽然(ran)理论上我们并没有证明C是正(zheng)确的，但也没有确定它是错误的(de)。而A，B，D已经确定错误，除非(fei)题目没有正确的选(xuan)项，否则就只能选(xuan)C。

严格来说，这种方法不能(neng)称为简便解法，因(yin)为它其实是不严(yan)谨的。实际上它是探究问题的(de)一种方法，但一般只是探究(jiu)问题整个过程中的一个部分(fen)，在考试中可以(yi)用来解决选择或填空等小题，不能当作(zuo)一种完整严谨的解法。你怎(zen)么看呢？

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